Soal Relasi Rekursif

 KELOMPOK 1

1.      Solusi homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0 dengan kondisi batas b0 = 2 , b1 = 3  adalah

a.       bn(h) =  1/6(-2)n + 1/3. (1)n         

b.      (a + 3) (a - 2)

c.       bn(h) = 1/5 (-3)n +1/5 . 2n    

d.      b0(h) = A1 (-3)0 + A2 . 20  

Pembahasan :

     

bn + bn-1 – 2 bn-2 = 0

= a2 + a- 2 = 0

= (a+ 2) (a- 1) = 0

a1 = -2     a2 = 1.

Solusi homogen = bn(h)= A1 a1n+ A2 a2n       =>bn(h)= A1 (-2)n+ A2 . (1)n

Dengan kondisi batas b0= 2 dan b1= 3 ,maka:

b0(h) = A1 (-2)(2) + A2 . 1(2)    =>  0  =  -4 A1 + 2 A2

b1(h) = A1 (-2)(3) + A2 . 1(3)    =>  1 =   -6 A1 +  3A2

-4 A1 + 2 A2 = 0        _x  3       -12A1 +  6 A2  =  0

-6 A1 + 3A2  =  1       _x 2        -12A1 +  6 A2  =  2    ₊

                                                                  6A2  = 2

                                                                   A2 = 1/3

-4A1 + 2A2 = 0

-4A1 + 2(1/3) = 0

A1 = 1/6

Maka akan diperoleh harga A1 = 1/6 dan A2 =1/3

Jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 2bn-2 = 0 adalah

bn(h) =  1/6(-2)n + 1/3. (1)n         

2.      Mana diantara berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi  dari :

a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 = 0 .

a.      an(h)  = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n  , an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n .

b.      an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n .

c.      an(h)  = (A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n  ,

d.      an(h)  = (A1 nm-1) an(h)  = (A1 n + A2 ) (-2)n .

Pembahasan :

Relasi rekurensi homogen :  a_n + 4 a_n-1 + 4 a_n-2 =0. 
Persamaan karakteristiknya adalah                a²  +  4 a  + 4 = 0

                                                                         (a+ 2) (a + 2) = 0

Hingga diperoleh akar-akar karakteristik        a₁ = a₂ = -2 ,  m = 2, 
Oleh arena akar-akar karakteristiknya ganda,Maka solusi homogennya berbentuk  
        

a_n^(h)  = (A₁ n^m-1 + A₂ n^m-2) a₁ⁿ  ,a_n^(h)  = (A₁ n + A₂ ) (-2)ⁿ .

3.         a - an-1  = 2n2,n 1, dan 0 = 9 Solusi Umumnya adalah……

a.  5 +   (n) (n+1)(4n+2)

b.  9 +  (n) (n+1)(2n+1)

c.  2 +   (n+2)(n)(n+2n)

d.  9 +  (n)(n+1)(2n+1)

Pembahasan :

f   (n) = 2n2, sehingga solusi umumnya :

              

            =        A0+ (n(n+1)(2n+1)/6)    

            =        9 +  (n) (n+1)(2n+1)

 

5. Berapa banyak kah bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100?

  (A) 90

  (B) 9 
(C) 5

  (D) 10

Jawab : 
Dari tabel di atas, terlihat bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100
adalah sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34), suku
ke-9 (55), dan suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah (C) 5. 

 

6.        Diketahui : Suatu barisan c0, c1, c2, didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Untuk semua bilangan bulat k ≥ 2,

Ck = (ck-1 + k) (ck-2 + 1)

Dengan kondisi awal c0 = 1 dan c1 = 2.

Ditanya : Hitunglah c5 !

Penyelesaian :

Oleh karena barisan didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bisa dihitung secara langsung, tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.

·         c2 = c1 + 2 c0 + 1 =

            2 + 2.1 + 1       = 5

·         c3= c2 + 3 c1 + 1 =

 5 + 3.2 + 1      = 12

·         c4= c3 + 4 c2 + 1 =

 12 + 4.5 + 1    = 33

·         c5= c4 + 5 c3 + 1 =

     33 + 5.12 + 1   = 94

Jadi, c5 = 94

A. C5 = 90

B. C5 = 92

C. C5 = 84

D. C5 = 94

7. Diketahui relasi rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!……

a. 2n
b. 4n
c. n
d. 2

Jawab:

Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 22 Sn-2
= 23 Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
 

8.    Selesaikan relasi rekurensi an = 7an -1 , n > 1, a2= 98

a.    an= 7n (2) , n > 1

b.    an= 7n (1) , n > 0

c.    an= 7n , n > 2

d.  an= 7n(2) , n > 0

Penyelesaian

Untuk n = 1 maka a₁ = 7 a₀  a₂ = 7 a₁ = 7  (7 a₀) = 72a₀ dari a₂ = 98 maka 98 = 49 a₀

sehingga diperoleh a₀ = 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh :

a₃ = 7 a₂ = 7 (7pangkat2 a₀) = 7pangkat3 a₀ ..........dan seterusnya

sehingga penyelesaian umum dari relasi rekurensi di atas adalah

 an= 7n (2) , n > 0

9.    Tentukan solusi umum dari relasi rekurensi  dan 0=9

a. 5 + (n) (n+1) (4n+2)

b. 9 + (n) (n+2) (2n+1)

c. 2 + (n+2) (n) (n+2n)

d. 9 + (n) (n+1) (2n+1)

Penyelesaian

f(n) =  sehingga solusi umumnya :

n = 0 + (i)

= 0 + 2

= 0 + 2

= 9 + (n) (n+1) (2n+1)

10. Dengan mengambil satu harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan tsb mulai dari f1 s.d. fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu > 150?

(A) 9

(B) 10

(C) 11

(D) 15

Jawab :

Dari tabel di atas juga, dapat kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh bilangan Fibonacci dari f1 hingga fn > 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89, yang merupakan bilangan fibonacci dari suku ke-1 hingga suku ke-10). Sehingga, jawaban yang benar adalah (B) 10

1.    HANDY

2.    NAUFAL

3.    ICHSAN

4.    TITHA

5.    Aprylian Maulana

6.    ZHENDY

7.    KUKUH

8.    RICO

9.    ERLANDIKA

10. JOVI